排列組合完全攻略
嘿！這份講義是我把高中排列組合所有題型整理出來的精華版。每一個觀念我都會用最直白的方式講，不會只丟公式叫你背。重點是搞懂「為什麼這樣算」，而不是「要算什麼」。
每個章節前面都有一個 思路導航，告訴你這類題目的核心想法；後面有 常見錯誤，幫你避開地雷。
目錄
- 核心心法：解題前先問自己三件事
- 題型一：組合數公式與代數運算
- 題型二：不相鄰問題 — 插空法
- 題型三：分組與分堆
- 題型四：球入箱 — 重複排列
- 題型五：物品分配
- 題型六：幾何計數與排容原理
- 題型七：條件集合計數
- 題型八：條件限制的搭配問題
- 題型九：二項式定理
- 題型十：組合數級數求和
- 魔王關：撲克牌與「為什麼不能拆太細」
- 10 道綜合練習題
核心心法：解題前先問自己三件事
每次看到排列組合的題目，不要急著寫數字。先在腦袋裡回答這三個問題：
問題 1：誰在選？選什麼？（主動權）
原則：不能被分割的物件是「去選的」（指數），可以重複被選的是「被選的」（底數）。
| 情境 | 誰選誰 | 算式 |
|---|---|---|
| 4 個不同的球放入 3 個不同的箱子 | 球選箱子（每顆球獨立決定去哪箱） | |
| 4 本不同的書分給 6 個人（每人可得多本） | 書選人（每本書獨立決定給誰） | |
| 4 本不同的書分給 6 個人（每人最多一本） | 書選人，但人不能重複被選 |
口訣：可以重複的當底數，不能分割的當指數。
問題 2：東西是「相同」還是「相異」？
這決定了你要用排列 、組合 、還是需要除以階乘。
- 箱子相同 → 分組分堆問題，要把「數量一樣的堆」除以階乘
- 箱子不同 → 分配問題，可以直接用乘法或重複排列
- 書相同 → 只需決定「誰拿到」，用組合
- 書不同 → 每本書獨立決定去哪，用排列 或重複排列
問題 3：有沒有「地位相同」的選取動作？
這是最多人跌倒的坑。如果兩個動作選出來的東西「地位一樣」，你分兩步選，就一定會多算。
這個觀念太重要了，我在後面 魔王關 會用撲克牌的例子狠狠地拆解。現在先記住一句話：
「地位相同的東西，要一起選，不能分批選。」
題型一：組合數公式與代數運算
思路導航
這類題目考的不是「排列組合的情境」，而是你對 這個公式有多熟。核心動作就一個：展開，約分，解聯立。
經典題
設 ，則 ，。
解答： ，
解題過程：
把比例式拆成兩個等式。
取前兩項 ：
約分（利用 和 ）：
取後兩項 ：
解聯立：
由①得 ，代入②：
常見錯誤
- 階乘約分卡關：看到 不知道要拆成 。訣竅是把較大的階乘放在分子，然後「展開到能消掉分母為止」。
- 只取一個比例式就想解出兩個未知數：比例式 必須拆成兩個等式（ 和 ）才能解兩個未知數。
題型二：不相鄰問題 — 插空法
思路導航
不相鄰的經典策略：先排其他東西，再把「不能相鄰的東西」插進空隙裡。
空隙的算法：
- 個物品排成一列後，會產生 個空隙（包含兩端）。
- 如果要把 個相同的東西插進空隙且彼此不相鄰，就是從 個空隙中選 個：。
經典題
有 共 7 個字母，全取排成一列，若同字不相鄰，有 種排法。
解答：
解題過程：
這題的難點在於有兩組字母都有「不相鄰」的限制（ 有 2 個， 有 3 個）。處理方式是根據 是否相鄰來分類討論。
情況①： 相鄰
把 視為一體，與 共 3 個單位排列：
因為 其實不能相鄰，所以必須強制在兩個 之間塞一個 （消耗 1 個 ，方法數 1）。
剩下 2 個 ，插入排列好的 3 個單位（）之間與兩端，共 個空隙：
合計： 種
情況②： 分開
先排 ： 種
把 插入 之間的 3 個空隙（確保分開）： 種
此時 共 4 個字母已排好，產生 5 個空隙。把 3 個 插入這 5 個空隙： 種
合計： 種
總計： 種
常見錯誤
- 想把所有不相鄰條件一次處理：看到「 不相鄰」又「 不相鄰」，想一步到位，結果亂掉。正確做法是先排限制較少的，再逐步插入限制較多的。
- 用排容原理硬扣：全部排列減去 相鄰、減去 相鄰、加回兩者都相鄰……算式會非常複雜而且容易漏。插空法才是這類題型的正解。
題型三：分組與分堆
思路導航
分組分堆的核心問題只有一個：分出去的堆之間，有沒有「誰是誰」的區別？
- 箱子不同（有名字的箱子） → 分配問題，不用除階乘
- 箱子相同（沒名字的箱子） → 分堆問題，數量一樣的堆要除以階乘
經典題 1：相同箱子
5 個不同的球，全部任意放入 3 個相同的箱子，有 種放法。
解答：
解題過程：
箱子相同，所以只看「每箱有幾個球」，按數量分類：
| 分布 | 算式 | 說明 |
|---|---|---|
| 選 5 顆全放一箱 | ||
| 選 4 顆、再選 1 顆 | ||
| 選 3 顆、剩下 2 顆 | ||
| 兩堆都是 1 顆，除以 | ||
| 兩堆都是 2 顆，除以 |
合計：
為什麼要除以 ？ 因為箱子是相同的。當你把球 A 放第一堆、球 B 放第二堆，跟球 B 放第一堆、球 A 放第二堆，在相同的箱子裡看起來完全一樣，但你的算式把它們算成了兩種。兩堆數量相同時，就重複了 倍。
經典題 2：限制條件的分組
王姓夫婦有兩個男孩，陳姓夫婦有兩個女孩，張姓夫婦有一男孩一女孩，共 12 人。從這 12 人中選 6 人組排球隊，所選 6 人中至少一位爸爸、至少一位媽媽、至少一位男孩、至少一位女孩，則有 種情形。
解答：
解題過程：
先按身分分類：爸爸 3 人、媽媽 3 人、男孩 3 人（王 2 + 張 1）、女孩 3 人（陳 2 + 張 1）。
要選 6 人，4 個類別至少各 1 人。把 6 拆成 4 個正整數的和，只有兩種結構：
結構① ： 一種身分取 3 人，其他各取 1 人
結構② ： 兩種身分各取 2 人，另兩種各取 1 人
合計：
常見錯誤
- 忘記先決定「哪幾組取 2 人」：在 的結構中，直接寫 卻忘了乘 。 就是在決定「是哪兩個身分各出 2 人」，這步不能省。
- 相同箱子忘記除階乘：看到「分成兩堆各 2 人」就直接 ，忘記兩堆地位相同要除以 。
題型四：球入箱 — 重複排列
思路導航
球入箱是最核心的分配模型。記住：
「球」是去選的（指數），「箱子」是被選的（底數）。因為每顆球只能去一個箱子，但一個箱子可以裝很多球。
| 題型 | 算法 |
|---|---|
| 不同球 → 不同箱，任意放 | 箱子數 |
| 不同球 → 不同箱，每箱至少 1 個 | 排容原理（見下方） |
| 不同球 → 相同箱 | 分組分堆（見題型三） |
| 相同球 → 不同箱 | 重複組合 |
經典題：排容原理
5 個不同的球，放入 3 個不同的箱子，每箱至少一個，有 種。
解答：
解題過程：
用排容原理（取捨原理）：
邏輯拆解：
- ：全部任意放
- ：扣掉「選定 1 個箱子是空的」（剩下 2 個箱子任選）
- ：加回「2 個箱子同時是空的」被重複扣除的部分
合計：
速查表：球入箱公式總覽
設 顆不同的球， 個箱子。
| 條件 | 箱子不同 | 箱子相同 |
|---|---|---|
| 任意放 | 分組分堆（列舉分布） | |
| 每箱至少 1 個 | 列舉分布（只取每堆 的） |
題型五：物品分配
思路導航
分配問題跟球入箱的邏輯一樣，只是把「球」換成「書」、「箱子」換成「人」。關鍵一樣是判斷：
- 書是相同還是不同？
- 人可以拿幾本？（至多一本 vs 可以多本）
經典題
4 本書分給甲、乙、丙、丁、戊、己共 6 人，求下列各情形的方法數： (1) 書相同，每人最多一本 (2) 書不同，每人可得多本 (3) 書不同，每人最多一本 (4) 書不同，每人可得多本，甲恰得一本
解答： (1) 15 (2) 1296 (3) 360 (4) 500
解題過程：
(1) 書相同，每人最多一本
6 個人中選 4 個人來拿書：
（書相同 = 只需決定「誰拿到」，不必決定「拿到哪本」）
(2) 書不同，每人可得多本
每本書獨立選人：
(3) 書不同，每人最多一本
書選人，不能重複：
（等價於：6 人中選 4 人，再排哪本書給誰 = ）
(4) 書不同，每人可得多本，甲恰得一本
甲先從 4 本書中選 1 本：
剩下 3 本書分給其他 5 人（每人可得多本）：
合計：
常見錯誤
- 第 (4) 小題寫成 ：搞混了！甲是「確定要拿書的人」，不是從 6 人中選。甲已經確定要拿了，他只需要決定「拿哪一本」。
題型六：幾何計數與排容原理
思路導航
幾何計數的核心公式：（ 個點任選 2 點連線數）。
但實際題目一定會有「共線的點」造成重複計算，所以策略是：
全部算，再扣掉重複的。
經典題 1：直線數
3×5 等距點陣列共 15 個點，可決定 條相異直線。
解答：
解題過程：
全部：
找出所有共線的點組：
五點共線（水平 3 列）：
每組被重複算了 條，共 3 組 → 多算
三點共線：
| 類型 | 數量 |
|---|---|
| 垂直行 | 5 組 |
| 斜率 的對角線 | 3 組 |
| 斜率 的對角線 | 3 組 |
| 斜率 的斜線 | 1 組 |
| 斜率 的斜線 | 1 組 |
| 合計 | 13 組 |
每組被重複算了 條 → 多算
經典題 2：正多邊形
正 14 邊形的 14 個頂點可決定 條對角線、 個直角三角形、 個鈍角三角形、 個銳角三角形。
解答： 77 條對角線、84 個直角三角形、210 個鈍角三角形、70 個銳角三角形
解題過程：
對角線：
直角三角形： 正偶數邊形有外接圓。直角三角形的斜邊必為直徑。14 邊形有 條直徑。選定 1 條直徑後，剩下 12 個點任選 1 個就是直角頂點：
鈍角三角形： 鈍角的對邊是最大邊，鈍角頂點落在圓的「優弧」上。固定一個鈍角頂點，從同側連續取 2 個頂點（跳過相鄰的 1 個頂點，因為相鄰會產生直角或銳角）：
對每個固定頂點，可形成的鈍角三角形數 =
共 個
銳角三角形： 用扣的最快：
常見錯誤
- 漏算斜率 的三點共線：這是這類題目最常扣分的地方。一定要按「斜率」地毯式搜索。
- 鈍角三角形直接算而不扣除：鈍角三角形的數量最好用「固定頂點枚舉」的方式算，但銳角三角形直接用「全部扣掉其他的」最安全。
題型七：條件集合計數
思路導航
這類題目給你一個集合，裡面的元素要滿足大小關係。核心觀念：
組合 本身就自帶順序。你選出來的東西，由小到大排只有一種排法。
經典題
設 ，求： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ，
解答： (1) 1000 (2) 720 (3) 120 (4) 165
解題過程：
(1) 沒有限制，每個位置都有 10 個選擇：
(2) 三個都不同：
(3) ：從 10 個數字中選 3 個，選出來之後由小到大排只有 1 種方式：
(4) 出現 號，代表有「相等」的可能。拆成兩種情況：
- ：
- ：只需選 2 個數（小的當 ，大的同時當 和 ）：
常見錯誤
- 第 (4) 小題想直接用一個公式算：看到 就亂猜公式。其實只要把 拆成「嚴格小於」和「等於」兩種情況分開算再相加就好。
題型八：條件限制的搭配問題
思路導航
這類題目給你一堆限制條件，最常見的考法有兩種解法：
- 分類討論法（正向）：從「限制最多的項目」出發，逐一討論
- 反面扣除法（反向）：算全部，再扣掉違規的
經典題
帽子（黑、灰、紅、藍）、衣服（白、綠、藍）、鞋子（黑、灰、白），規定：
- 紅色帽子不能配灰色鞋子
- 藍色帽子一定要配白色衣服
共有幾種搭配？
解答：
方法一：分類討論法（從帽子出發）
| 帽子 | 衣服限制 | 鞋子限制 | 算式 | 結果 |
|---|---|---|---|---|
| 黑 | 無 | 無 | 9 | |
| 灰 | 無 | 無 | 9 | |
| 紅 | 無 | 不能灰鞋 | 6 | |
| 藍 | 只能白衣 | 無 | 3 |
合計：
方法二：反面扣除法
全部：
違規 1：紅帽配灰鞋 →
違規 2：藍帽配非白衣 →
兩種違規的帽子不同（一個紅、一個藍），不會有交集：
邏輯陷阱：若 P 則 Q 的方向性
這題最常見的錯誤是這樣的：
「藍帽一定要配白衣，所以扣掉『非藍帽配白衣』的情況 = 」
這是錯的！ 因為規定是「藍帽 → 白衣」，不是「白衣 → 藍帽」。
黑帽配白衣、灰帽配白衣、紅帽配白衣，這些都是完全合法的搭配。規定只說「你戴藍帽就必須穿白衣」，沒有說「穿白衣就必須戴藍帽」。
邏輯鐵律：「若 P 則 Q」≠「若 Q 則 P」。只有違反「P 且非 Q」的情況才需要扣除。
題型九：二項式定理
思路導航
二項式定理考兩種東西：(1) 展開後有幾項？(2) 某一項的係數是多少？
求項數的關鍵：不同層的變數次方不同，就不會合併。
求係數的關鍵：由外而內，一層一層決定。
經典題
展開整理後共有 項， 項的係數為 。
解答： 項，係數
第一部分：項數
錯誤想法： 把 展開成 ，然後把整個式子當成四項式 來算。
這樣做會掉進「同類項合併」的陷阱。例如：
- 取 2 個 和 2 個 → 產生
- 取 4 個 → 產生
這兩者會合併成同一項，所以你用重複組合算出來的數字一定會超算。
正確做法：分層處理，不要把裡面拆碎。
外層展開：
每個不同的 對應不同的 的次方（），所以不同 展開出來的項絕對不可能合併。
每個 對應的 展開後有 項。
總項數：
第二部分： 的係數
外層： 需要 ，所以 ，得
內層： 在 中找
一般項：
要 ，所以 ，得
對應項：
合併：
常見錯誤
- 把括號內展開後用多項式定理算項數：會因為同類項合併而算錯。記住，分層處理才不會踩雷。
- 算係數時忘記負號： 裡面的 在奇數次方時會帶負號，別漏掉。
題型十：組合數級數求和
思路導航
這類題目的特徵：一個等差數列配上組合數。最優雅的武器是倒寫相加法，結合 的對稱性。
經典題
解答：
解題過程：
令原式為 ：
把順序倒過來寫，並利用 ：
① + ②：
利用 ：
補充：微分法（給程度好的同學）
考慮 ，則 。
而 。
對 取微分再代值，也能得到相同結果。這是一條很漂亮的另一條路，有興趣可以試試。
魔王關：撲克牌與「為什麼不能拆太細」
這個章節是整份講義最重要的地方。搞懂這個，你對排列組合的理解會直接升一個檔次。
題目
從 52 張撲克牌中取 5 張，其中「兩對」（Two Pairs）的取法有幾種？
「兩對」指的是：5 張牌中有 2 張數字相同、另外 2 張數字相同、第 5 張數字跟前面都不同。例如 。
正確解法：「先定骨架，再填血肉」
第一步：定骨架 — 選 2 個數字當對子，再選 1 個數字當單張
第二步：填血肉 — 幫每個數字選花色
合併：
為什麼不能寫 ？
這是同學最常犯的錯。想法是：「先挑第一個對子的數字、再挑第二個對子的數字」。
問題出在哪？兩個對子的地位完全一樣。
你先選 再選 ，跟你先選 再選 ，最後拿到的手牌都是 。但在這個算式裡，這兩種順序被當成了不同的結果。
因為兩個對子地位相同，分兩步選就一定會多算 倍。你可以驗證：
所以如果用這個算式，最後要記得除以 才會對。
為什麼更不能寫 ？
這是「逐張抽取」，想法是：「隨便抽一張，找同數字的同伴；再隨便抽一張，找同伴；最後抽一張不同的」。
這樣拆更細，問題更大。以手牌 為例：
| 重複來源 | 說明 | 倍數 |
|---|---|---|
| 第一對的兩張牌誰先抽 | 黑桃A 先抽還是紅心A 先抽 | |
| 第二對的兩張牌誰先抽 | 梅花K 先抽還是方塊K 先抽 | |
| 兩對之間誰先湊 | A 對先湊還是 K 對先湊 |
同一副手牌被算了 倍。
核心原則：地位相同的東西，要一起選
不要「先抽第一個，再抽第二個」。要「一次把所有同地位的東西全部抓好」。
- 兩個對子的數字 → 一次從 13 個數字中選 2 個：
- 不是「先選一個數字再選一個數字」：（多算 2 倍）
- 更不是「先抽一張牌再找同伴」：（多算 8 倍）
這個原則不只適用於撲克牌，所有「地位相同的選取」都一樣：
- 選兩組人去兩個「相同的」地方 → 一次用 選，不能分兩步
- 分成數量相同的兩堆 → 除以
- 兩對對子的數字 → 用 而不是
10 道綜合練習題
以下每道題都是上面觀念的變形應用。建議你先自己想 5 分鐘再看解答。
練習 1：地位相同的選取（撲克牌變形）
從 52 張撲克牌中取 5 張，恰含一對（One Pair）的取法有幾種？
思路： 選 1 個數字當對子 → 選 3 個不同數字當單張 → 選花色
注意： 3 張單張的數字用 一次選完，不能寫 。你知道為什麼嗎？因為 3 張單張地位相同，分三步選會多算 倍。
練習 2：地位相同的選取（骰子）
擲 4 顆不同的骰子，恰好出現 2 點的骰子有 2 顆的機率？
先選哪 2 顆骰子出現 2 點：
剩下 2 顆骰子不出現 2 點，各有 5 種可能：
方法數：
全部可能：
機率：
注意： 「哪兩顆骰子出現 2 點」要用 一次選完。不能寫「第一顆選出現 2 點的骰子、第二顆再選」，那樣會多算 倍。
練習 3：插空法變形（不相鄰 + 間隔限制）
有 共 7 個字母排成一列，同字不相鄰，有幾種排法？
先排 ： 種（只有 1 個 ）
再決定 、、 是否相鄰。三組都可能相鄰或不相鄰，直接討論太複雜。
換個思路： 先排 ，有 2 個空隙。但只有 2 個空隙不夠放 6 個字母。
所以要先排部分字母，再插入。
策略：先排 各 1 個，再插入 各 1 個
先排 各 1 個：
產生 5 個空隙。要插入 各 1 個，且不能跟同字母相鄰。
每個字母要插入時，不能插在跟自己同字母旁邊的空隙。
這個情況要用排容原理處理，比較複雜。讓我們用更簡潔的方法。
正確策略：排容原理
全部排列（不限制）
扣掉 相鄰：把 綁一起，排 共 6 個 →
同理扣掉 相鄰：；扣掉 相鄰：
加回 都相鄰：
同理 都相鄰：； 都相鄰：
扣掉三者都相鄰：
排容：
關鍵： 當「不相鄰」的組數太多，插空法不好用時，排容原理反而是更系統化的選擇。兩種方法都要會。
練習 4：分組分堆 + 分配
6 本不同的書分成 3 堆，每堆至少 1 本，有幾種分法？若分成數量 的三堆呢？
分成三堆，每堆至少 1 本： 6 拆成 3 個正整數有三種結構：
- ：
- ：
- ：
合計：
分成 ：
注意： 三堆數量都不同，不需要除階乘。但 三堆數量都相同，要除以 。
練習 5：球入箱 + 排容
將 6 本不同的書分給甲、乙、丙 3 人，每人至少 1 本，有幾種分法？
驗證： 這跟練習 4 的「分成三堆再分配」結果一致：。兩種方法殊途同歸，可以互相驗證。
練習 6：條件限制（邏輯陷阱）
3 個人坐 5 個連續座位，甲不坐最左邊，乙不坐最右邊，有幾種坐法？
全部：
分類討論（從限制最多的人出發）：
以甲為分類基準：
甲坐最右邊（滿足「甲不坐最左」）： 乙隨便坐（只剩 4 個位子，不含最右因甲坐了）：
甲坐中間 3 個位子：
- 乙不坐最右：從剩下的 3 個位子（不含最右、不含甲的位子）選 → 要看具體位置
用排容更乾淨：
令 = 甲坐最左， = 乙坐最右
：甲坐最左，剩下 2 人從 4 個位子選：
：乙坐最右，剩下 2 人從 4 個位子選：
：甲坐最左且乙坐最右，丙從 3 個位子選：
關鍵： 當限制條件是「某人不坐某位」時，排容原理永遠是最乾淨的工具。
練習 7：重複組合
的非負整數解有幾組？正整數解有幾組？
非負整數解：
正整數解： 令 （均 ）
，非負整數解：
公式： 的非負整數解 。正整數解 。
練習 8：幾何計數（正三角形）
正十邊形的 10 個頂點中任取 3 點，可形成幾個銳角三角形？
全部三角形：
直角三角形： 正偶數邊形有外接圓，直角三角形的斜邊必為直徑。10 邊形有 條直徑，每條直徑對應 8 個直角頂點：
鈍角三角形： 固定一個鈍角頂點，從同一側半圓中（不包含直徑端點和相鄰點）選 2 個頂點：
每個頂點可形成的鈍角三角形：從同側 個點中選 2 個，但要排除包含直徑端點的情況…直接用扣除法：
銳角三角形
鈍角三角形：固定鈍角頂點，該頂點的對面弧上（超過半圓）有 7 個其他點，選 2 個，但要排除：
每個頂點對應的鈍角三角形 （同側半圓內，不含相鄰和直徑端點，從 4 個點中選 2 個）
鈍角三角形
銳角三角形
策略： 銳角三角形永遠用「全部扣掉直角和鈍角」來算，直接算是地獄。
練習 9：二項式定理（特定項係數）
展開式中， 的係數為何？
一般項：
要 ，所以 ：
注意： 係數包含 和 ，不要只算 。負號的部分因為 是偶數次方所以變成正的。
練習 10：綜合 — 分組 + 限制 + 排容
某班有 8 男 7 女共 15 人，選 5 人組委員會，規定至少 2 男至少 2 女，且甲男乙女不能同時在委員會中，有幾種選法？
第一步：算「至少 2 男至少 2 女」
從 5 人中，性別分布只能是 男 女或 男 女：
第二步：扣掉「甲男乙女都在委員會中」的情況
甲乙都在，還要選 3 人，性別分布為 男 女或 男 女：
- 男 女（甲已佔 1 男名額，乙已佔 1 女名額）：從剩下 7 男選 2，剩下 6 女選 1
- 男 女：從剩下 7 男選 1，剩下 6 女選 2
扣掉的量：
答案：
關鍵： 這題的結構是「正面算出符合基本條件的全部情況，再用反面扣除額外限制」。兩層過濾，不要想一次到位。
總結：解題心法一覽
| 題型 | 核心策略 | 一句話 |
|---|---|---|
| 組合數代數 | 展開約分解聯立 | 階乘約分要放慢 |
| 不相鄰 | 插空法 | 先排別人再插空 |
| 分組分堆 | 相同數量的堆除階乘 | 箱子相同就要除 |
| 球入箱 | 球選箱子 | 底數是可以重複的 |
| 物品分配 | 判斷相同/相異 + 可否重複 | 誰不能分割誰就是指數 |
| 幾何計數 | 全部扣掉共線 | 按斜率地毯式搜索 |
| 條件集合 | 自帶順序 | 選出來排好只有一種 |
| 搭配限制 | 分類討論或排容 | 注意若 P 則 Q 的方向 |
| 二項式 | 分層展開 | 不要把括號拆碎 |
| 級數求和 | 倒寫相加 | 高斯求和 + 的對稱性 |
| 地位相同 | 一起選，不分批 | 拆越細錯越多 |
最後再說一次最重要的那句話：
「地位相同的東西，要一次選完，不能分批慢慢選。拆得越細，錯得越離譜。」
祝考試順利，這份講義搞定排列組合基本沒問題了。加油！